Loi de Poisson
La loi de Poisson modélise le nombre d'événements sur un intervalle (temps, surface, volume) lorsque ces événements sont rares, indépendants et se produisent à intensité constante . Elle apparaît comme limite de la binomiale et comme loi des sauts d'un processus de Poisson.
Caractéristiques
| Caractéristique | Formule | Description |
|---|---|---|
| Notation | Parfois ou | |
| Paramètre | Taux moyen (intensité) : nombre attendu d'événements sur l'intervalle considéré | |
| Support | Entiers non négatifs, support dénombrable infini | |
| Fonction de masse | Pour | |
| Fonction de répartition | Également (gamma incomplète supérieure) | |
| Fonction génératrice des moments | Dérivées en 0 donnent les moments | |
| Fonction caractéristique | Transformée de Fourier de la loi | |
| Espérance | Égale au paramètre d'intensité | |
| Variance | Équidispersion : moyenne = variance (propriété diagnostique) | |
| Écart-type | Fluctuations relatives de l'ordre de | |
| Mode | Deux modes et si est entier et | |
| Médiane | ou | Approximation courante : pour grand |
| Asymétrie | Distribution asymétrique à droite ; tend vers 0 si | |
| Kurtosis (excès) | Queues plus lourdes que la normale pour petit | |
| Entropie de Shannon | — | Pas de formule close simple ; calcul numérique via la PMF |
| Information de Fisher | Pour une observation ; décroît avec l'intensité | |
| Divergence de Kullback-Leibler | Entre deux lois de Poisson de taux et |
Propriétés et Théorèmes
| Propriété / Théorème | Formule | Description |
|---|---|---|
| Limite binomiale | Lien avec la binomiale en régime rare | |
| Additivité | indép. | Les intensités s'additionnent sur des intervalles disjoints |
| Éclaircissement (thinning) | , chaque événement retenu avec prob. | Filtrage indépendant des événements ; base des modèles de sauts |
| Équidispersion | Si empiriquement : surdispersion (loi binomiale négative, etc.) | |
| Approximation normale | Pour grand ; voir loi normale | |
| Lien avec l'exponentielle | Nombre d'arrivées en dans un processus de Poisson de taux | |
| Somme aléatoire | Poisson composée ; modèle de pertes agrégées en assurance | |
| Indépendance des comptages disjoints | — | Les nombres d'événements sur des intervalles disjoints sont des Poisson indépendantes |
| Inégalité de Chernoff | Majoration exponentielle des queues à droite |
Applications
Arrivées et flux
Nombre d'ordres, de transactions ou de paquets réseau par minute/heure sous hypothèse de taux constant et d'indépendance.
Défauts et sinistres
Nombre de défauts sur un portefeuille très granulaire ou de sinistres en assurance non-vie (fréquence de base).
Physique et fiabilité
Désintégrations radioactives, pannes d'équipement rares, anomalies de production sur une chaîne.
Files d'attente et microstructure
Modélisation élémentaire des arrivées de liquidité ou des ticks ; extension vers processus de Poisson composé pour les sauts de prix.
Inférence Statistique
| Concept | Formule | Description |
|---|---|---|
| Échantillon | intervalles ou observations indépendantes | |
| Somme suffisante | résume toute l'information sur | |
| Estimateur du MLE | Moyenne empirique ; sans biais, convergent, efficace | |
| Variance de l'estimateur | Décroît en | |
Intervalle exact () | IC exact pour à partir de la somme | |
| Intervalle de Wald | Approximation normale ; acceptable si est grand | |
| Test exact | p-value exacte sous | |
| Test asymptotique | Alternative simple pour grand | |
| Prior conjugué (bayésien) | La loi gamma est conjuguée de la Poisson |
Remarques importantes
L'équidispersion () est un premier diagnostic : un écart important suggère un modèle alternatif.
La surdispersion fréquente en finance et assurance motive la loi binomiale négative ou les modèles à effets aléatoires.
L'intervalle basé sur le est préférable à Wald pour petit ou modéré.
Comparer deux taux et sur deux échantillons revient à tester l'égalité de deux moyennes de Poisson.
Méthodes Computationnelles
| Méthode | Description | Applications |
|---|---|---|
| Génération pseudo-aléatoire | Méthode d'inversion (Knuth) ou transformation à partir d'exponentielles | Simulations de flux, Monte Carlo |
| NumPy |
| réalisations indépendantes |
| SciPy |
| Probabilités exactes, quantiles, simulation |
| IC exact |
| Intervalles de confiance pour |
| Test de rapport de vraisemblance | Comparaison de modèles Poisson emboîtés (statsmodels | Régression de Poisson sur covariables |
| Diagnostic surdispersion | Déviance / ddl ; quasi-Poisson dans | Détection d'un mauvais ajustement Poisson |
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Références
• Wikipedia, Poisson distribution : https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution
• Voir aussi Bernoulli, binomiale et processus stochastiques.