Fondamentaux
Cette page regroupe les notions de base des probabilités : cadre axiomatique, variables aléatoires, moments et théorèmes limites. Pour les lois concrètes, voir Distributions.
Cadre axiomatique
Une probabilité sur un espace vérifie :
- pour tout événement
- -additivité : pour des événements disjoints ,
Espace probabilisable
Un espace probabilisable est un triplet :
- : univers des issues
- : tribu d'événements mesurables
- : mesure de probabilité
La tribu permet de définir des opérations dénombrables (limites, sup, etc.) sur les événements.
Variable aléatoire et distribution
Une variable aléatoire est une application mesurable (ou ).
Sa loi est la mesure image .
- Discrète : masse
- Continue : densité telle que
La fonction de répartition : .
Espérance
L'espérance résume le centre de gravité d'une loi :
Linéarité : (sans hypothèse d'indépendance).
Transfert : .
Variance, covariance et corrélation
La variance d'une somme : ; si et sont indépendants, le terme croisé s'annule.
Moments, skewness et kurtosis
Le moment d'ordre : . Le moment centré d'ordre 3 et 4 alimentent :
- Skewness (asymétrie) : queue plus lourde à gauche ou à droite
- Kurtosis (aplatissement) : queues plus ou moins épaisses que la normale
En finance, des kurtosis élevés signalent un risque de événements extrêmes.
Loi conditionnelle et indépendance
La loi conditionnelle de sachant :
Indépendance : pour tous événements, ou équivalent .
Indépendance non-corrélation (sauf cas gaussien).
Loi des grands nombres
Pour i.i.d. avec :
Interprétation : la moyenne empirique stabilise la vraie moyenne — base de l'estimation Monte Carlo et des backtests longs.
Théorème central limite
Si et :
Justifie l'usage massif de la loi normale en statistique et l'approximation des erreurs d'estimation.