Équations aux dérivées partielles

Une équation aux dérivées partielles (EDP) relie une fonction inconnue $$ à ses dérivées partielles :

Contrairement aux EDO, plusieurs variables indépendantes coexistent — typiquement le temps $$ et des variables d'espace ou de marché (prix du sous-jacent, taux, etc.).

Une solution est en général déterminée par des conditions aux limites (sur le bord du domaine) et/ou des conditions initiales (en $$).

Une EDP décrit un phénomène qui varie simultanément dans le temps et dans l'espace (ou entre plusieurs facteurs). La solution $$ n'est plus une courbe mais une surface ou un champ. Elliptique : état d'équilibre, pas de direction privilégiée de propagation (Laplace). Parabolique : diffusion / dissipation dans le temps (chaleur, Black-Scholes). Hyperbolique : propagation d'ondes à vitesse finie (équation des ondes).

Pour une EDP linéaire du 2e ordre à deux variables $$ :

on examine le discriminant $$ :

• Séparation des variables (Fourier, Sturm-Liouville). - Transformée de Fourier / Laplace pour équations linéaires sur domaines simples. - Fonctions fondamentales (Green) : solution pour une source ponctuelle. - Black-Scholes : transformation en équation de la chaleur via changement de variables.

• Différences finies : discrétisation de $$, $$ sur une grille — voir Calcul numérique.
• Éléments finis : base variée sur domaines complexes.
• Monte Carlo : alternative probabiliste via Feynman-Kac (espérance sous mesure risque-neutre).

Le choix dépend du domaine, de la dimension et des conditions aux limites.

Pour certaines EDP paraboliques, la solution s'écrit comme une espérance :

où $$ suit une EDS liée aux coefficients de l'EDP. C'est le pont entre :

• pricing PDE (Black-Scholes backward) ;
• pricing Monte Carlo (simulation risque-neutre).

Les deux approches doivent donner le même prix sous les mêmes hypothèses — utile pour validation croisée.

• Finance quantitative : pricing d'options (Black-Scholes), modèles de vol locale, calibration de surfaces.
• Physique : diffusion, mécanique des fluides, électromagnétisme.
• Ingénierie : transfert thermique, optimisation de forme.
• Image / ML : diffusion comme modèle de bruit (score-based models) — même formalisme parabolique.

Les EDO sont le cas à une seule variable indépendante ; les EDP ajoutent la dimension spatiale ou multi-facteurs.