Séries de Taylor

Soit $$ une fonction $$ fois dérivable au voisinage de $$. Le polynôme de Taylor d'ordre $$ est :

En $$, on parle de développement de Maclaurin. Si la série converge vers $$ :

c'est la série de Taylor de $$ autour de $$.

Une série de Taylor remplace une fonction compliée, localement, par un polynôme dont les coefficients sont fixés par les dérivées en un point.

• Ordre 0 : valeur constante $$.
• Ordre 1 : approximation linéaire (tangente) — voir Dérivées, gradient et Hessienne.
• Ordre 2 : approximation quadratique (courbure via la Hessienne).
• Ordre plus élevé : meilleure précision près de $$, mais souvent inutile ou instable loin de $$.

L'idée centrale : toute fonction suffisamment régulière se comporte presque comme un polynôme à petite échelle.

Développement autour de $$ jusqu'à l'ordre 2 :

Le terme linéaire domine pour $$ petit ; le terme quadratique capture la courbure.

Pour $$ autour de $$ :

C'est le développement de Taylor d'ordre 2 — base de la méthode de Newton et des approximations delta-gamma en finance.

Entre $$ et $$, il existe $$ tel que :

Le reste dépend de la dérivée d'ordre $$ sur l'intervalle — d'où l'importance de la régularité de $$.

On écrit souvent :

En pratique : tronquer à l'ordre 1 ou 2 suffit pour l'optimisation et les sensibilités ; des ordres plus hauts servent surtout en calcul numérique ou en asymptotique statistique.

Optimisation — Newton : résoudre $$ en linéarisant le gradient (Taylor d'ordre 1 sur $$). Analyse de convergence : taux quadratique de Newton près d'une racine simple.

Finance — Delta-gamma : approximation du P&L d'un portefeuille d'options : $$ (Taylor d'ordre 2 du prix). Duration-convexité (obligataires) : même logique pour le prix vs taux.

Statistiques — Expansion de Taylor autour du MLE pour approximer la vraisemblance et dériver des tests (asymptotique normale). Approximation $$ pour petits rendements.

Calcul numérique — Intégration, résolution d'équations, différences finies — voir Calcul numérique (à venir).