Loi binomiale
La loi binomiale compte le nombre de succès obtenus en répétant fois un essai de Bernoulli de probabilité , les essais étant indépendants et identiquement distribués.
Caractéristiques
| Caractéristique | Formule | Description |
|---|---|---|
| Notation | Parfois ou | |
| Paramètres | essais ; probabilité de succès ; | |
| Support | Tous les entiers entre 0 et | |
| Fonction de masse | Pour ; coefficient binomial | |
| Fonction de répartition | Également (fonction bêta régularisée) | |
| Fonction génératrice des moments | Produit des FGM de Bernoulli i.i.d. | |
| Fonction caractéristique | Transformée de Fourier de la loi | |
| Espérance | Nombre moyen de succès sur essais | |
| Variance | Croît avec ; maximale en pour fixé | |
| Écart-type | Échelle naturelle de fluctuation autour de | |
| Mode | Deux modes adjacents si est entier | |
| Médiane | ou | Toujours comprise entre ces deux valeurs |
| Asymétrie | Tend vers 0 lorsque (régime gaussien) | |
| Kurtosis (excès) | Décroît en ; queues s'appauvrissent à grande échelle | |
| Entropie de Shannon | — | Pas de formule close simple ; calcul numérique via la PMF |
| Information de Fisher | Pour le paramètre à partir d'une observation | |
| Divergence de Kullback-Leibler | Même nombre d'essais ; se réduit à la divergence Bernoulli |
Propriétés et Théorèmes
| Propriété / Théorème | Formule | Description |
|---|---|---|
| Somme de Bernoulli | Construction canonique à partir de la Bernoulli | |
Cas | La Bernoulli est le cas élémentaire | |
Additivité (même ) | indép. | Stabilité par somme d'essais indépendants |
| Complément de succès | Nombre d'échecs ; symétrie succès/échec | |
| Moments factoriels | Pour ; utile pour variance et covariance | |
| Approximation normale | Théorème de De Moivre-Laplace / TCL ; voir loi normale | |
| Correction de continuité | Améliore l'approximation gaussienne pour modéré | |
| Limite de Poisson | Régime d'événements rares ; voir Poisson | |
| Inégalité de Chernoff | Majoration exponentielle des queues ; utile en ML et finance | |
| Échantillonnage sans remise | — | Si les essais ne sont pas indépendants (urne finie), la loi est hypergéométrique, pas binomiale |
Applications
Défauts et risque de crédit
Nombre de défauts sur crédits homogènes (PD commune) : modèle de base du risque de portefeuille sous indépendance.
Contrôle qualité et conformité
Nombre de pièces défectueuses dans un lot de taille , sous hypothèse de taux de défaut constant.
Taux de réussite et A/B testing
Nombre de conversions sur expositions ; comparaison de deux proportions entre cohortes.
Arbres binomiaux en finance
Modélisation multi-périodes de l'évolution d'un sous-jacent (Cox-Ross-Rubinstein) : chaque branche est une Bernoulli, le nombre de hausses suit une binomiale.
Inférence Statistique
| Concept | Formule | Description |
|---|---|---|
| Observation | , on observe succès | Équivalent à essais Bernoulli avec succès |
| Estimateur du MLE | Proportion empirique ; sans biais pour , estimateur naturel | |
| Variance de l'estimateur | Même formule que pour Bernoulli observées | |
| Test exact binomial | p-value exacte sous ; pas d'approximation normale requise | |
| Test de proportion (Z) | Approximation asymptotique ; valide si et sont grands | |
| Intervalle de Clopper-Pearson | IC exact au niveau pour | |
| Intervalle de Wilson | Meilleur comportement que Wald pour proche de 0 ou 1 | |
| Prior conjugué (bayésien) | Loi a posteriori après succès sur essais |
Remarques importantes
L'inférence sur à partir d'une binomiale observée coïncide avec celle de Bernoulli — voir aussi la page Bernoulli.
Le test exact est préférable pour petit ou extrême ; l'approximation normale simplifie les grands échantillons.
Comparer deux groupes ( vs ) relève du test de différence de proportions ou du d'indépendance.
Règle empirique : et avant d'utiliser l'approximation normale.
Méthodes Computationnelles
| Méthode | Description | Applications |
|---|---|---|
| Génération pseudo-aléatoire | Somme de Bernoulli ou algorithme équivalent (inversion, BTPE) | Simulations de portefeuille, stress tests |
| NumPy |
| réalisations indépendantes de |
| SciPy |
| Probabilités exactes, quantiles, simulation |
| Test exact | scipy.stats.binomtest(k, n, p) | p-value exacte pour un test de proportion |
| Approximation normale |
| Probabilités cumulées pour grand |
| Intervalles de confiance |
| Estimation robuste de |
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Références
• Wikipedia, Binomial distribution : https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution
• Voir aussi Bernoulli, Poisson et loi normale.