Loi normale
La loi normale est une distribution de probabilité continue qui est symétrique autour de sa moyenne μ et dont la forme est déterminée par son écart-type σ.
Caractéristiques
| Caractéristique | Formule | Description |
|---|---|---|
| Notation | Notation standard pour une loi normale de paramètres μ et σ² | |
| Paramètres | μ peut prendre toute valeur réelle, σ² doit être strictement positif | |
| Support | La variable peut prendre n'importe quelle valeur réelle | |
| Densité de probabilité | Fonction qui décrit la distribution de probabilité continue | |
| Fonction de répartition | Probabilité que la variable soit inférieure ou égale à x | |
| Fonction génératrice des moments | Utilisée pour calculer les moments de la distribution | |
| Fonction caractéristique | Transformée de Fourier de la densité de probabilité | |
| Quantile | Valeur x telle que la probabilité d'être inférieur à x est p | |
| Moyenne | Centre de la distribution et valeur attendue | |
| Médiane | Égale à la moyenne du fait de la symétrie | |
| Mode | Valeur la plus probable, au sommet de la courbe | |
| Variance | Mesure de la dispersion autour de la moyenne | |
| Déviation absolue moyenne | Moyenne des écarts absolus à la moyenne | |
| Asymétrie | Distribution parfaitement symétrique | |
| Kurtosis | Mesure de l'aplatissement de la distribution | |
| Kurtosis normalisé | Excès de kurtosis par rapport à la normale | |
| Entropie de Shannon | Mesure de l'incertitude de la distribution | |
| Information de Fisher | Mesure de l'information contenue dans la distribution | |
| Distance de Kullback-Leibler | Divergence entre deux distributions normales |
Propriétés et Théorèmes
| Propriété/Théorème | Formule | Description |
|---|---|---|
| Symétrie | Propriété fondamentale : la courbe est parfaitement symétrique autour de la moyenne . Les valeurs équidistantes de la moyenne ont la même densité de probabilité. | |
| Règle empirique | Propriété empirique connue sous le nom de "règle des 68-95-99.7" : pourcentage des observations dans les intervalles à 1, 2 et 3 écarts-types de la moyenne | |
| Standardisation | Propriété fondamentale : toute loi normale peut être ramenée à la loi normale centrée réduite par cette transformation | |
| Stabilité linéaire | Propriété fondamentale : une combinaison linéaire d'une variable normale suit aussi une loi normale avec ces paramètres | |
| Additivité | Théorème de Cramér : la somme de variables normales indépendantes suit une loi normale avec ces paramètres | |
| Maximum d'entropie | Théorème de Shannon-McMillan-Breiman : parmi toutes les distributions de même variance, la loi normale maximise l'entropie de Shannon | |
| Reproductibilité | Généralisation de la propriété de stabilité linéaire à toute combinaison linéaire de variables normales indépendantes | |
| Indépendance et corrélation | Théorème fondamental : pour des variables normales, l'absence de corrélation est équivalente à l'indépendance | |
| Convergence | Cas particulier du théorème central limite : la moyenne empirique normalisée d'un échantillon normal converge en loi vers une normale centrée réduite |
Applications
Théorème central limite
La somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend vers une loi normale (sous certaines conditions).
Tests statistiques
La loi normale est à la base de nombreux tests statistiques comme le test de Student ou l'ANOVA.
Inférence Statistique
| Concept | Formule | Description |
|---|---|---|
| Estimation de la moyenne | La moyenne empirique suit une loi normale de variance réduite par la taille de l'échantillon | |
| Intervalle de confiance pour μ (σ connu) | Intervalle de confiance au niveau 1-α pour la moyenne, lorsque l'écart-type est connu | |
| Intervalle de confiance pour μ (σ inconnu) | Intervalle de confiance utilisant la loi de Student lorsque l'écart-type est inconnu | |
| Test de Student | Statistique de test pour la moyenne sous H₀ : μ = μ₀ | |
| Test Z | Test pour la moyenne lorsque σ est connu | |
| Intervalle de confiance pour σ² | Intervalle de confiance pour la variance |
Remarques importantes
- Les intervalles de confiance supposent la normalité des données
Le test de Student est robuste aux écarts modérés à la normalité pour de grands échantillons
Le test Z nécessite de connaître la variance de la population, ce qui est rare en pratique
Pour de grands échantillons, le théorème central limite permet d'utiliser ces tests même si la normalité n'est pas strictement vérifiée
La puissance des tests dépend de la taille d'échantillon, de la taille d'effet et du niveau de signification
Les tests multiples nécessitent des corrections pour contrôler le taux d'erreur de type I
- L'ANOVA suppose l'homogénéité des variances entre les groupes (homoscédasticité)
- La régression linéaire suppose l'indépendance et l'homoscédasticité des résidus
Méthodes Computationnelles
| Méthode | Description | Applications |
|---|---|---|
| Génération de nombres aléatoires | Méthode de Box-Muller et algorithme de Marsaglia | Simulations Monte-Carlo, bootstrap |
| Approximation numérique | Méthodes d'approximation de la fonction de répartition et des quantiles | Calcul de probabilités et de valeurs critiques |
| Tests de normalité | Tests de Shapiro-Wilk, Kolmogorov-Smirnov, et QQ-plots | Vérification des hypothèses de normalité |
| Calcul de puissance | Simulation de la puissance des tests sous différentes alternatives | Dimensionnement d'échantillon, analyse de sensibilité |
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Exemples pratiques
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Références
• Wikipideia, Normal distribution : https://en.wikipedia.org/wiki/Normal_distribution